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算例2.1：非線性極限狀態函數為
，其中各隨機變量相互獨立，且服從標準正態分布，表2 1給出可靠性試驗靈敏度計算結果的對照，表2 2則給出重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值與Monte Carlo可靠性試驗靈敏度估計值在0.95置信度下的置信區間的對照。其中表2 1中的相對誤差表示以Monte Carlo解為精確解，重要抽樣分析結果與Monte Carlo解的相對誤差，以下相同。
表2 1 算例2.1的可靠性試驗靈敏度分析結果
|
|
Monte Carlo |
重要抽樣 |
相對誤差(%) |
|
|
抽樣次數 |
5×106 |
4×104 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.001821 |
0.001847 |
1.428 |
|
變異系數 |
0.010469 |
0.009192 |
— |
|
|
|
估計值 |
-0.002643 |
-0.002709 |
2.497 |
|
變異系數 |
0.012031 |
0.010294 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.003241 |
0.003354 |
3.487 |
|
變異系數 |
0.018756 |
0.015432 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.005184 |
0.005231 |
0.907 |
|
變異系數 |
0.010617 |
0.008819 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.013354 |
0.013399 |
0.337 |
|
變異系數 |
0.011232 |
0.008652 |
— |
|
表2 2 算例2.1的可靠性試驗靈敏度估計值在0.95置信度下的置信區間
|
|
Monte Carlo |
重要抽樣 |
||||
|
抽樣次數 |
5×106 |
4×104 |
5×106 |
|||
|
區間及
區間長度 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-4 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-4 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-5 |
|
|
(-2.705,-2.581) |
1.24 |
(-2.764,-2.655) |
1.09 |
(-2.690,-2.681) |
0.9 |
|
|
(3.122,3.360) |
2.38 |
(3.254,3.457) |
2.03 |
(3.274,3.292) |
1.8 |
|
|
(5.076,5.292) |
2.16 |
(5.141,5.322) |
1.81 |
(5.222,5.238) |
1.6 |
|
|
(13.060,13.648) |
5.88 |
(13.172,13.627) |
4.55 |
(13.404,13.444) |
4.0 |
從表2 1可以看出，Monte Carlo法與重要抽樣法抽樣次數之比為5×106：4×104時，重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數小于Monte Carlo估計值，而且計算精度很高。從表2 2可以看出，在抽樣次數相同的情況下，重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的置信區間比Monte Carlo估計值的置信區間小得多。
算例2.2：如圖2.1所示的九盒段結構，由64個桿元件、42個板元件構成，材料為鋁合金，原始數據取自文獻[11]。已知外載荷與各個單元的強度均為正態隨機變量，且外載荷
的均值和變異系數分別為
、
，第
個單元強度
的均值和變異系數分別為
、
。由失效模式的枚舉方法可求得結構體系的一個主要失效模式的極限狀態函數為
。表2 3和表2 4分別給出可靠性試驗靈敏度計算結果的對照和置信度為0.95的置信區間的對照。
表2 3 算例2.2的可靠性試驗靈敏度分析結果
|
|
Monte Carlo |
重要抽樣 |
相對誤差(%) |
|
|
抽樣次數 |
106 |
35000 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.00979 |
0.009668 |
0.979 |
|
變異系數 |
0.010057 |
0.008842 |
— |
|
|
|
估計值 |
-0.001326 |
-0.001301 |
1.885 |
|
變異系數 |
0.011960 |
0.010614 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.001562 |
0.001547 |
0.960 |
|
變異系數 |
0.019196 |
0.017866 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.001325 |
0.001319 |
0.453 |
|
變異系數 |
0.012004 |
0.010507 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.001575 |
0.001579 |
0.254 |
|
變異系數 |
0.019219 |
0.017222 |
— |
|
|
|
估計值 |
-0.001326 |
-0.001302 |
1.810 |
|
變異系數 |
0.011960 |
0.010503 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.001562 |
0.001528 |
2.177 |
|
變異系數 |
0.019218 |
0.017368 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.000332 |
0.000329 |
0.904 |
|
變異系數 |
0.012291 |
0.010900 |
— |
|
|
|
估計值 |
0.000367 |
0.000369 |
0.545 |
|
變異系數 |
0.020699 |
0.018673 |
— |
|
圖2.1 九盒段結構示意圖
表2 4 算例2.2的靈敏度估計值置信度為0.95的置信區間
|
|
Monte Carlo |
重要抽樣 |
||||
|
抽樣次數 |
106 |
35000 |
106 |
|||
|
區間及
區間長度 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-4 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-4 |
置信區間
×10-3 |
區間
長度
×10-5 |
|
|
(-1.357,-1.295) |
0.62 |
(-1.328,-1.274) |
0.54 |
(-1.338,-1.328) |
1.0 |
|
|
(1.503,1.620) |
1.17 |
(1.494,1.602) |
1.08 |
(1.569,1.589) |
2.0 |
|
|
(1.294,1.356) |
0.62 |
(1.291,1.346) |
0.55 |
(1.328,1.339) |
1.1 |
|
|
(1.516,1.634) |
1.18 |
(1.525,1.632) |
1.07 |
(1.571,1.591) |
2.0 |
|
|
(-1.357,-1.295) |
0.62 |
(-1.329,-1.276) |
0.53 |
(-1.338,-1.328) |
1.0 |
|
|
(1.503,1.620) |
1.17 |
(1.477,1.581) |
1.04 |
(1.569,1.589) |
2.0 |
|
|
(0.324,0.340) |
0.16 |
(0.322,0.337) |
0.15 |
(0.332,0.335) |
0.3 |
|
|
(0.352,0.382) |
0.3 |
(0.356,0.383) |
0.27 |
(0.367,0.372) |
0.5 |
從算例2.2的工程算例可以看出，在Monte Carlo法和重要抽樣法抽樣次數之比為106：35000時，重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數均小于Monte Carlo可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數，且計算精度很高。兩者在抽樣次數相同的情況下，重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的置信區間要比Monte Carlo法得到的置信區間小很多，這充分說明重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法是一種高效的可靠性試驗靈敏度分析方法。
