“改進最大最小”近似等價正態化方法

上述等價正態化過程是近似的，對于對稱拋物型這樣的非線性隸屬函數，要想在變量的所有取值范圍內均得到精度很好的近似是不可能的，而且對于失效概率和可靠性試驗靈敏度的近似計算來說也是不必要的，因為只有基本變量的尾分布才會對失效概率和可靠性試驗靈敏度的計算產生較大影響。如果在對稱拋物型隸屬函數的整個取值范圍內都要使兩隸屬函數的誤差的最大值達到最小，那么在函數尾部的近似程度就不是很好，相應的對于失效概率的估算精度就不高。因此就應力—強度干涉模型而言，如果能對強度變量的左尾部和應力變量的右尾部的分布進行很好近似，則可以得到失效概率的高精度解，從而得到可靠性試驗靈敏度的高精度解。而對于對稱的拋物型隸屬函數某一側尾部近似較好的同時另一側尾部必然近似的也同樣好，故本章提出了“改進最大最小”法，它是一種在尾部更好的近似對稱拋物型隸屬函數的等價正態化方法。

“改進最大最小”法的思路是：令等價正態型隸屬函數的位置參數，然后選取適當的形狀參數，使得在區間內誤差的最大值達到最小（其中為的常數，在本文算例中取為5/8），以達到使等價的正態型隸屬函數在尾部更好地近似對稱拋物型隸屬函數的目的，從而使模糊隨機失效概率及可靠性試驗靈敏度的估算更加精確。“改進最大最小”法的實現與“最大最小”法類似，不同的是式所示的優化模型變為式所示的優化模型。

采用“改進最大最小”法對拋物型隸屬函數等價正態化后，可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析與7.4.1節所述的方法是一致的。

為了說明“最大最小”法和“改進最大最小”法所確定的等價正態型隸屬函數的近似結果以及兩者近似程度上的差異，現舉一個對稱拋物型隸屬函數的實例。假設模糊變量的隸屬函數為的對稱拋物型，其中心值，形狀參數，圖7.3給出了采用“最大最小”法和“改進最大最小”法所得到的等價正態型隸屬函數與原隸屬函數的對照。

由圖7.3容易看出“改進最大最小”法比“最大最小”法所得到的等價正態型隸屬函數在尾部能夠更好的近似對稱拋物型隸屬函數，故“改進最大最小”法所得到的模糊隨機失效概率和可靠性試驗靈敏度的精度更高，文中的算例結果也充分證明了上述結論。也就是說本章提出的“改進最大最小”法更適合于對稱拋物型隸屬函數的等價正態化，對模糊變量的隸屬函數為對稱拋物型分布時結構的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析起到了重要作用。

圖7.3 的對稱拋物型隸屬函數近似等價正態化結果